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Flexibles Rechnen und Zahlenblickschulung - Entwicklung und Förderung von Rechenkompetenzen bei Erstklässlern, die Schwierigkeiten beim Rechnenlernen zeigen
Buchtitel
1
Inhalt
8
Einleitung
14
Teil I Flexibles Rechnen und Zahlenblickschulung betrachten
19
Rechnen beschreiben
20
1 Verschiedene Lösungswerkzeuge
20
1.1 Zählen
21
1.2 Nutzen von strategischen Werkzeugen
25
1.3 Abrufen von Fakten
26
2 Vom Zählen zum Rechnen
27
2.1 Gründe für die Ablösung vom Zählen
28
2.2 Die Entwicklung vom Zählen zum Rechnen
29
2.3 Bedeutung der strategischen Werkzeuge
33
2.3.1 Strategische Werkzeuge und der Weg zur Automatisierung
33
2.3.2 Strategische Werkzeuge als Basis für flexibles Rechnen
34
Rechnen grundlegen und ausbauen
36
3 Den Zahlbegriff entwickeln
36
3.1 Konzepte und Tätigkeiten zur Zahlbegriffsentwicklung
37
3.2 Anschauungsmittel zur Zahlbegriffsentwicklung
42
3.2.1 Kardinale Materialien unterschiedlicher Strukturierung
43
3.2.2 Sinnfällige Vorstellungsbilder
46
3.2.3 Anschauungsmittel für das Ordnen von Zahlen
47
3.2.4 Anschauungsmittel für das Verorten von Zahlen
47
3.3 Die Zahlaspekte
48
3.3.1 Der Zählzahlaspekt
49
3.3.2 Der Kardinalzahlaspekt
49
3.3.3 Der Ordnungszahlaspekt
50
3.3.4 Der Rechenzahlaspekt
50
3.3.5 Der Maßzahlaspekt
51
3.3.6 Der Systemzahlaspekt
52
3.4 Strukturierung der Zahlaspekte
53
3.4.1 Die Strukturierung der Zahlaspekte in der Literatur
53
3.4.2 Zahlaspekte und Zahlbegriffsentwicklung in vorliegender Studie
55
4 Rechnen entwickeln
60
4.1 Operationsverständnis aufbauen
61
4.2 Die Entwicklung der sprachlichen Ausdrucksformen
64
4.3 Algebraische Vorstellung als Grundlage der Addition
65
4.4 Größen-Vorstellungen als Grundlage der Addition
69
4.5 Fazit
72
5 Flexibles Rechnen entwickeln
73
5.1 Begriffsklärung
74
5.1.1 Die Adäquatheit von Lösungsweg und Aufgabencharakteristik
75
5.1.2 Die Adäquatheit von Lösungsrichtigkeit und Lösungsgeschwindigkeit
76
5.1.3 Die Adäquatheit des Referenzrahmens
77
5.1.4 Begriffsbildung „flexibles Rechnen“ in vorliegender Studie
79
5.2 Indikatoren für flexibles Rechnen
81
5.3 Flexibles Rechnen fördern
83
5.3.1 Ansätze zum Mathematiklernen
84
5.3.2 Flexibles Rechnen im sozialen Austausch entwickeln
89
5.3.3 Flexibles Rechnen fördern
91
5.4 Fazit
96
6 Zahlenblick und Zahlenblickschulung
96
6.1 Begriffsklärung Zahlenblick
97
6.1.1 „Number sense“ oder „Zahlensinn“
97
6.1.2 „Structure sense“ oder Struktursinn
99
6.1.3 Zahlenblick
100
6.2 Die Schulung des Zahlenblicks
101
6.2.1 Die Schulung des Zahlenblicks in der Literatur
101
6.2.2 Die Schulung des Zahlenblicks in vorliegender Studie
103
6.2.3 Aktivitäten zur Zahlenblickschulung
108
Besondere Schwierigkeiten beim Rechnenlernen
116
7 Mögliche Ursachen für die Entwicklung von Schwierigkeiten beim Rechnenlernen
116
7.1 Die kognitions- und entwicklungspsychologische Perspektive
116
7.1.1 Störungen in der kognitiven Verarbeitung
117
7.1.2 Störungen in der Zahlenrepräsentation
117
7.1.3 Schwierigkeiten in der (kognitiven) Verarbeitung im Arbeitsgedächtnis und in der Zahlenrepräsentation
119
7.1.4 Entwicklungsmodell zur Zahlenrepräsentation
122
7.2 Die fachdidaktische Perspektive
125
7.2.1 Aufbau und Hierarchie der Inhalte
126
7.2.2 Der Einfluss von Unterricht
128
8 Symptome
130
9 Förderung und Prävention
133
9.1 Prävention
133
9.2 Förderung
135
9.3 Die Entwicklung flexiblen Rechnens bei Kindern mit Lernschwierigkeiten in Mathematik
140
Standortbestimmung
142
10 Positionierung
142
10.1 Begründungslinien
142
10.2 Forschungsdesiderate
145
11 Forschungsfokus
147
11.1 Inhaltlicher Fokus
147
11.2 Methodologischer und methodischer Fokus
149
Teil II Die Entwicklung flexiblen Rechnens untersuchen
151
Methodologische und methodische Überlegungen
151
1 Forschungsdesign
152
1.1 Vorüberlegungen
152
1.2 Untersuchungsverlauf
154
2 Das Interview als Datenerhebungsinstrument
155
2.1 Planung klinischer Interviews
155
2.2 Besondere Herausforderungen bei der Befragung von Kindern
156
3 Die Datenauswertung
159
3.1 Die qualitative Inhaltsanalyse
159
3.1.1 Allgemeine Beschreibung
159
3.1.2 Übertrag auf die vorgestellte Untersuchung
161
3.2 Gliederung und Interpretation der Argumentationen
162
3.3 Typenbildung
164
Beschreibung der Untersuchung
168
4 Beschreibung der Stichprobe
168
4.1 Auswahl der Klassen
168
4.2 Auswahl der Kinder
170
4.2.1 Beschreibung der Diagnoseinstrumente
171
4.2.2 Beschreibung der Stichprobe
176
5 Die klinischen Interviews
177
5.1 Umsetzung der methodischen Vorüberlegungen
177
5.2 Beschreibung der Interviewaufgaben
179
5.2.1 Kurzdarstellung der Aufgabenstellungen der Bereiche I und III
179
5.2.2 Sortieraufgabe aus Schwerpunkt II
182
5.3 Beschreibung der Interviewverläufe
191
5.3.1 Erstes Interview
191
5.3.2 Zweites Interview
193
5.3.3 Drittes Interview
194
5.3.4 Viertes Interview
196
6. Datenauswahl und Datenaufbereitung
197
6.1 Datenauswahl
197
6.2 Datenaufbereitung
197
7 Analyse der Daten
201
7.1 Analyse der Lösungswerkzeuge
203
7.2 Analyse der Argumentationen der Kinder
206
7.2.1 Theorien zur Strukturierung des Kategoriensystems
208
7.2.2 Entwicklung des Kategoriensystems
210
8 Die Interpretation der Argumentationen
212
8.1 Theoretische Ansätze zur Analyse der Argumentationen
212
8.1.1 Der argumentationstheoretische Ansatz
212
8.1.2 Theorie zum Beweisen
213
8.2 Qualitative Einschätzung der Argumente
215
9 Typenbildung
217
9.1 Methodische Vorüberlegungen
217
9.2 Entwicklung einer Typologie zum Rechnenlernen in der ersten Klasse
218
9.2.1 Entwicklung des Merkmalsraums
218
9.2.2 Gruppierung der Fälle und Analyse der Zusammenhänge
220
9.3 Erarbeitung einer Gesamttypologie zur Entwicklung des flexiblen Rechnens
223
9.3.1 Entwicklung des Merkmalsraums und Gruppierung der Fälle
223
9.3.2 Typenbildung zum flexiblen Rechnen
225
Das Unterrichtssetting – die Schulung des Zahlenblicks
228
10 Die Schulung der Lehrkräfte
228
11 Die Aktivitäten im Einzelnen
229
11.1 Aktivitäten zum Sehen mit Stützung
230
11.1.1 Anzahlen
230
11.1.2 Größenrelationen
234
11.2 Aktivitäten zum Sehen auf formaler Ebene
236
11.3 Aktivitäten zum Sortieren mit Stützung
237
11.4 Aktivitäten zum Sortieren auf formaler Ebene
238
11.5 Aktivitäten zum Strukturieren mit Stützung
239
11.6 Aktivitäten zum Strukturieren auf formaler Ebene
240
Teil III Flexibles Rechnen und Zahlenblickschulung verstehen – Ergebnisse
242
Ergebnisse und Erkenntnisse
242
1 Typologie zum flexiblen Rechnen
242
1.1 Charakterisierung der Typen
243
1.1.1 Der Zähler – ein Haupttypus
245
1.1.2 Der mechanische Rechner – ein Haupttypus
246
1.1.3 Der flexible Rechner – ein Haupttypus
248
1.1.4 Der Experte – ein Haupttypus
249
1.1.5 Der Zähler mit mechanisch orientierten Abweichungen –ein Zwischentypus
251
1.1.6 Der verfahrensorientierte Rechner – ein Zwischentypus
253
1.1.7 Der Zähler mit beziehungsorientierten Abweichungen –ein Zwischentypus
254
1.1.8 Der versuchsweise beziehungsorientierte Rechner – ein Zwischentypus
255
1.1.9 Der beziehungsorientierte Rechner – ein Zwischentypus
257
1.2 Einordnung der Typen in die Theorie
258
2 Deskription und Interpretation der Entwicklungsverläufe
265
2.1 Unterschiedliche Entwicklungsverläufe beim Rechnenlernen
265
2.1.1 Entwicklungsverläufe zum Zähler
266
2.1.2 Entwicklungsverläufe zum Zähler mit mechanisch orientierten Abweichungen
267
2.1.3 Entwicklungsverlauf zum Zähler mit beziehungsorientierten Abweichungen
268
2.1.4 Entwicklungsverlauf zum verfahrensorientierten Rechner
269
2.1.5 Entwicklungsverläufe zum mechanischen Rechner
270
2.1.6 Entwicklungsverläufe zum beziehungsorientierten Rechner
270
2.1.7 Entwicklungsverläufe zum flexiblen Rechner
271
2.1.8 Entwicklungsverläufe zum Experten
273
2.2 Einfluss der Zahlenblickschulung auf die Rechenentwicklung
274
2.3 Einordnung der Entwicklungsverläufe in die Theorie
278
2.3.1 Entwicklungen in Wellen
279
2.3.2 Die Funktion strategischer Werkzeuge
280
2.3.3 Die Rolle der Zahlenblickschulung
281
2.3.4 Der Einfluss von Sprache und Lernangeboten
282
3 Deutungshypothesen
283
4 Zusammenfassung
287
Diskussion und Ausblick
291
Literatur
298
Abbildungsverzeichnis
319
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